设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得 f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．

admin2017-07-26 62

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得
f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．

选项

答案作辅助函数g(x)=lnx，则f(x)、g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．由柯西定理，存在点η∈(a，b)，使得 [*] 即f(b)一f(a)=ηf’(η)(lnb—lna)．两边同除以(b一a)得 [*] 即f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．

解析 f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)

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考研数学三

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