设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又b>a>0,试证:存在两点ξ,η∈(a,b),使得 f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna).

admin2017-07-26  31

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又b>a>0,试证:存在两点ξ,η∈(a,b),使得
    f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna).

选项

答案作辅助函数g(x)=lnx,则f(x)、g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.由柯西定理, 存在点η∈(a,b),使得 [*] 即f(b)一f(a)=ηf’(η)(lnb—lna). 两边同除以(b一a)得 [*] 即f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna).

解析 f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)
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