若方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x=0有一个正根x0，证明方程 a0nxn-1+a1(n－1)xn-2+….+an-1=0 必有一个小于x0的正根。

admin2022-09-05 61

问题若方程a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x=0有一个正根x₀，证明方程
a₀nx^n-1+a₁(n－1)x^n-2+….+a_n-1=0
必有一个小于x₀的正根。

选项

答案令F(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x,显然F(x)在[0,x₀]上连续，在(0,x₀)内可导，且F(0)=0,F(x₀)=a₀x₀ⁿ+a₁x₀^n－1+…+a_n-1x₀=0 由罗尔定理知在(0,x₀)内至少存在一点ξ,使得F’(ξ)=0,即 a₀nx^n-1+a₁(n－1)x^n-2+….+a_n-1=0 从而得证。

解析

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