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已知3阶矩阵A=有一个二重特征值,求a,并讨论A是否相似于对角矩阵.
已知3阶矩阵A=有一个二重特征值,求a,并讨论A是否相似于对角矩阵.
admin
2018-11-20
30
问题
已知3阶矩阵A=
有一个二重特征值,求a,并讨论A是否相似于对角矩阵.
选项
答案
(1)求a. A的特征多项式为 [*] 要使得它有二重根,有两种可能的情况: ①2是二重根,即2是λ
2
一8λ+18+3a的根,即4—16+18+3a=0,求出a=一2,此时三个特征值为2,2,6. ②2是一重根,则λ
2
一8λ+18+3a有二重根,λ—8λ+18+3a=(λ一4)
2
,求出a=一2/3.此时三个特征值为2,4,4. (2)讨论A是否相似于对角化矩阵. ①当a=一2时,对二重特征值2,考察3一r(A一2E)是否为2?即r(A一2E)是否为1 [*],r(A一2E)=1,此时A可相似对角化 ②当a=一2/3时,对二重特征值4,考察3一r(A一4E)是否为2?即r(A一4E)是否为1 [*] r(A一4E)=2,此时A不相似于对角矩阵
解析
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考研数学三
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