设矩阵A=仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

admin2022-09-22  40

问题 设矩阵A=仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

选项

答案|λE-A|=[*]=(λ-b)(λ-1)(λ-3). 因为矩阵A仅有两个不同的特征值,所以b=1或b=3. ①当b=1时,A的特征值为λ12=1,λ3=3. 因为A相似于对角矩阵,所以r(E-A)=1, E-A=[*]所以a=1, (E-A)x=0的基础解系为α1=[*],α2=[*], (3E-A)x=0的基础解系为α3=[*] 令P=[*],则P-1AP=[*] ②当b=3时,A的特征值为λ12=3,λ3=1. 因为A相似于对角矩阵,所以r(3E-A)=1, 3E-A=[*],所以a=-1, (3E-A)x=0的基础解系为α1=[*],α2=[*] (E-A)x=0的基础解系为α3=[*] 令P=[*],则P-1AP=[*]

解析
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