设矩阵A=仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2022-09-22 37

问题设矩阵A=

仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案｜λE-A｜=[*]=(λ-b)(λ-1)(λ-3)．因为矩阵A仅有两个不同的特征值，所以b=1或b=3． ①当b=1时，A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=3．因为A相似于对角矩阵，所以r(E-A)=1， E-A=[*]所以a=1， (E-A)x=0的基础解系为α₁=[*]，α₂=[*]， (3E-A)x=0的基础解系为α₃=[*] 令P=[*]，则P^-1AP=[*] ②当b=3时，A的特征值为λ₁=λ₂=3，λ₃=1．因为A相似于对角矩阵，所以r(3E-A)=1， 3E-A=[*]，所以a=-1， (3E-A)x=0的基础解系为α₁=[*]，α₂=[*] (E-A)x=0的基础解系为α₃=[*] 令P=[*]，则P^-1AP=[*]

解析

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考研数学二

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设矩阵A=仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

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