已知二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2. a1,2,…,an满足什么条件时f(x1,x2,…,xn)正定?

admin2020-03-16  42

问题 已知二次型
f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2
a12,…,an满足什么条件时f(x1,x2,…,xn)正定?

选项

答案记y1=x1+a1x2,y2=x2+a2x3,…,yn=xn+anx1,则 [*] 简记为Y=AX. 则f(x1,x2,…,xn)=YTY=XTATAX.于是,实对称矩阵ATA就是f(x1,x2,…,xn)的矩阵.从而f正定就是ATA正定. ATA正定的充要条件是A可逆.计算出|A|=1+(-1)n-1a1a2…an.于是,f正定的充要条件为 a1a2…an≠(-1)n

解析
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