过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 D的面积A；

admin2018-07-23 96

问题过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求
D的面积A；

选项

答案如图所示，设切点坐标为P(x⁰，y⁰)，于是曲线y=e^x在点P的切线斜率为 yˊ(x⁰)=e^x⁰， [*] 切线方程为 y－y⁰=e^x⁰ (x－x⁰)．它经过点(0，0)，所以－y⁰=－x⁰ e^x⁰．又因y⁰=e^x⁰，代入求得x⁰=1，从而y⁰=e^x⁰=e，切线方程为y=ex．取水平条面积元素，则D的面积 [*]

解析

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考研数学二

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设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[*]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1
证明下列命题：设f(x，y)定义在全平面上，且则f(x,y)恒为常数；
试求多项式P(x)＝x2＋ax＋b，使得积分取最小值．
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设奇函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明(1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝1；(2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)＋f’(η)＝1．
设二次型f=2x12+x22+ax32+2x1x2+2bx13+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．
设k为常数，方程在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．
设f(x，y)连续，改变下列二次积分的积分次序：
设微分方程作自变量变换t=lnx以及因变量变换，请将原微分方程变换为z关于t的微分方程；

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