设二次型f=2x12+x22+ax32+2x1x2+2bx13+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2015-06-30 68

问题设二次型f=2x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=y₁²+y₂²+4y₃²，求参数a，b及正交矩阵Q．

选项

答案二次型f=2x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而｜λE-A｜=λ³-(a+4)λ²+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2)，所以有λ³-(a+4)λ²+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2)=(λ-1)²(λ-4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E-A)X=0得[*]由λ₃=4时，由(4E-A)X=0得ξ₃=[*]显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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