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设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明 (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明 (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
admin
2014-10-08
123
问题
设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明
(1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
(2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
选项
答案
(1)方法一 令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-1=0.由f(x)为奇函数知f(0)=0,因此F(0)=f(0)-0=0,即F(x)在区间[0,1]上满足罗尔定理条件,于是存在点ξ∈(0,1),使得 F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1。 方法二 由f(x)为奇函数知f(0)=0,且易知f(x)在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件,因此存在点ξ∈(0,1),使得 [*] (2)令G(x)=e
x
[f’(x)-1].由(1)知G(ξ)=0.又已知f(x)为奇函数,故f’(x)为偶函数,于是f’(-ξ)=f’(ξ)=1,故G(-ξ)=0.因此G(x)在区间[-ξ,ξ]上满足罗尔定理条件,于是存在点η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使 G’(η)=0,即e
η
[f’(η)-1]+e
η
.f"(η)=0. 因为e
η
≠0,所以f"(η)+f’(η)=1.
解析
需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理.第(2)问中的辅助函数可通过记g(x)=f’(x),解微分方程g’(x)+g(x)=1并分离常数得到通解e
x
[g(x)-1]=C,因此可作辅助函数G(x)=e
x
[f’(x)-1].
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