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  3. 设奇函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明 (1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝1； (2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)＋f’(η)＝1．

设奇函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明 (1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝1； (2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)＋f’(η)＝1．

admin2014-10-08  48
问题 设奇函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明
(1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝1；
(2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)＋f’(η)＝1．
选项
答案(1)方法一 令F(x)＝f(x)－x，则F(1)＝f(1)－1＝0．由f(x)为奇函数知f(0)＝0，因此F(0)＝f(0)－0＝0，即F(x)在区间[0，1]上满足罗尔定理条件，于是存在点ξ∈(0，1)，使得 F’(ξ)＝0，即f’(ξ)＝1。 方法二 由f(x)为奇函数知f(0)＝0，且易知f(x)在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理条件，因此存在点ξ∈(0，1)，使得 [*] (2)令G(x)＝ex[f’(x)－1]．由(1)知G(ξ)＝0．又已知f(x)为奇函数，故f’(x)为偶函数，于是f’(－ξ)＝f’(ξ)＝1，故G(－ξ)＝0．因此G(x)在区间[－ξ，ξ]上满足罗尔定理条件，于是存在点η∈(－ξ，ξ)[*](－1，1)，使 G’(η)＝0，即eη[f’(η)－1]＋eη.f"(η)＝0． 因为eη≠0，所以f"(η)＋f’(η)＝1．
解析 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理．第(2)问中的辅助函数可通过记g(x)＝f’(x)，解微分方程g’(x)＋g(x)＝1并分离常数得到通解ex[g(x)－1]＝C，因此可作辅助函数G(x)＝ex[f’(x)－1]．
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考研数学二

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