首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明 (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明 (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
admin
2014-10-08
85
问题
设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明
(1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
(2)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
选项
答案
(1)方法一 令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-1=0.由f(x)为奇函数知f(0)=0,因此F(0)=f(0)-0=0,即F(x)在区间[0,1]上满足罗尔定理条件,于是存在点ξ∈(0,1),使得 F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1。 方法二 由f(x)为奇函数知f(0)=0,且易知f(x)在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件,因此存在点ξ∈(0,1),使得 [*] (2)令G(x)=e
x
[f’(x)-1].由(1)知G(ξ)=0.又已知f(x)为奇函数,故f’(x)为偶函数,于是f’(-ξ)=f’(ξ)=1,故G(-ξ)=0.因此G(x)在区间[-ξ,ξ]上满足罗尔定理条件,于是存在点η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使 G’(η)=0,即e
η
[f’(η)-1]+e
η
.f"(η)=0. 因为e
η
≠0,所以f"(η)+f’(η)=1.
解析
需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理.第(2)问中的辅助函数可通过记g(x)=f’(x),解微分方程g’(x)+g(x)=1并分离常数得到通解e
x
[g(x)-1]=C,因此可作辅助函数G(x)=e
x
[f’(x)-1].
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rV34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
[*]
已知事件A、B,且0
设四阶矩阵B=,且矩阵A满足关系式A(E-C-1B)TCT=E,其中E为四阶单位矩阵,C-1表示C的逆矩阵,CT表示C的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A.
证明幂级数是微分方程yˊˊ-y=-1的解,并由此求该幂级数的和函数.
若函数f(x)存在二阶导数,且其一阶导数的图形如图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为().
设a1,a2,a3,是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,r(A)=3,且a1+a2=,则方程组AX=b的通解为__________.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且,又f(2)=,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0。
设f(x)是区间上的正值连续函数,且若把I,J,K按其积分值从小到大的次序排列起来,则正确的次序是
以y1=ex,y2=xe2x+ex为两个特解的二阶常系数非齐次微分方程是().
设f(x)=πx+x2(-π<x<π)的傅里叶展开为(ancosnx+bnsinnx),则其中的系数b3为________.
随机试题
女性输尿管进入膀胱前,从其前上方跨过的结构是
根据我国《民事诉讼法》和相关司法解释的规定,下列关于审判组织的哪些表述是正确的?()
A公司拟购买某公司债券作为长期投资(打算持有至到期日),要求的必要收益率为6%。现有三家公司同时发行5年期,面值均为1000元的债券,其中:甲公司债券的票面利率为8%,每年付息一次,到期还本。债券发行价格为1041元;乙公司债券的票面利率为8%,单利计息,
甲公司为境内上市公司。2×13年10月20日,甲公司向乙银行借款5亿元。借款期限为5年,年利率为6%,利息按年支付,本金到期一次偿还。借款协议约定:如果甲公司不能按期支付利息,则从违约日起按年利率7%加收罚息。2×13年、2×14年,甲公司均按时支付乙银行
下面正确地表述了法律效力的原则是()。
沵迆平原,南驰苍梧涨海,北走紫塞罹门。拖以漕渠,轴以昆岗。重江复关之陕,四会五达之庄。当昔全盛之时,车挂轊,人驾肩,廛闸扑地,歌吹沸天。孳货盐田,铲利铜山。才力雄富,士马精妍。故能侈秦法,佚周令,划崇墉,刳浚洫,图修世以休命。是以板筑雉堞之殷,井斡烽橹之勤
【南明】中国人民大学2005年中国古代史真题
千兆位以太网标准是_______。
某二叉树中有n个度为2的结点,则该二叉树中的叶子结点数为()。
科学给我们的生活带来了许多变化。
最新回复
(
0
)