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A=,证明|xE-A|的4个根之和等于a11+a22+a33+a44.
A=,证明|xE-A|的4个根之和等于a11+a22+a33+a44.
admin
2017-06-08
113
问题
A=
,证明|xE-A|的4个根之和等于a
11
+a
22
+a
33
+a
44
.
选项
答案
设4个根为x
1
,x
2
,x
3
,x
4
.因为|xE-A|是x的4次多项式,并且x
4
的系数为1,所以 |xE-A|=(x-x
1
)(x-x
2
)(x-x
3
)(x-x
4
). 考察x
3
的系数.从右侧看为-(x
1
+x
2
+x
3
+x
4
);再从左侧看,因为|xE-A|对角线外的元素都是不含x的常数,所以在其展开式的24项中,只有对角线元素的乘积(x-a
11
)(x-a
22
)(x-a
33
)(x-a
44
)这一项包含x
3
的,并且系数为-(a
11
+a
22
+a
33
+a
44
).于是x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=a
11
+a
22
+a
33
+a
44
.
解析
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考研数学二
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