设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分xydσ=_______。

admin2018-04-14 61

问题设平面区域D由直线y=x，圆x²+y²=2y及y轴所围成，则二重积分

xydσ=_______。

选项

答案7／12

解析方法一：利用极坐标变换，D：π／4≤θ≤π／2，0≤r≤2sinθ，因此

xydσ=∫_π／4^π／2dθ∫₀^2sinθr²cosθsinθrdr=∫_π／4^π／2cosθsinθ．r⁴／4|₀^2sinθdθ
=4∫_π／4^π／2sin⁵θOd(sinθ)=2／3sin⁶θ|_π／4^π／2=7／12。
方法二：根据直角坐标变换，已知直线和圆的交点为(1，1)，上半圆周的方程为
y=1+

直角坐标区域为
D：0≤x≤1，x≤y≤1+

则

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