[2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．

admin2019-05-16 49

问题 [2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

求Z=X+Y的概率密度f_Z(z)．

选项

答案直接用卷积公式求之．将f(x，y)改写成 [*] 在xOz平面上给出f(x，y)取正值的区域为0＜x＜1，z-x=1，z-x=0所围成的区域记为D(见图中阴影部分) [*] f_Z(z)=∫_-∞^+∞f(x，z—x)dx．下面只需在f(x，y)取正值的区域D对x积分．为此，将区域D分成两部分D₁与D₂，即当0≤z＜1时， f_Z(z)=∫_-∞^+∞f(x，z—x)dx=∫₀^z(2一x)dx=z(2一z)；当1≤z＜2时， f_Z(z)=∫_-∞^+∞f(x，z—x)dx=∫_z-1¹(2一z)dx=(2—z)²．当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z-x＜1，f(x，x—x)=0，则f_Z(z)=0．综上所述，[*]

解析

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