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[2007年] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求Z=X+Y的概率密度fZ(z).
[2007年] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求Z=X+Y的概率密度fZ(z).
admin
2019-05-16
50
问题
[2007年] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求Z=X+Y的概率密度f
Z
(z).
选项
答案
直接用卷积公式求之.将f(x,y)改写成 [*] 在xOz平面上给出f(x,y)取正值的区域为0<x<1,z-x=1,z-x=0所围成的区域记为D(见图中阴影部分) [*] f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f(x,z—x)dx. 下面只需在f(x,y)取正值的区域D对x积分.为此,将区域D分成两部分D
1
与D
2
,即 当0≤z<1时, f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f(x,z—x)dx=∫
0
z
(2一x)dx=z(2一z); 当1≤z<2时, f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f(x,z—x)dx=∫
z-1
1
(2一z)dx=(2—z)
2
. 当z取其他值时,由于不同时满足0<x<1,0<z-x<1,f(x,x—x)=0,则f
Z
(z)=0. 综上所述,[*]
解析
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考研数学一
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