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  3. [2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．

[2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．

admin2019-05-16  30
问题 [2007年]  设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．
选项
答案直接用卷积公式求之．将f(x，y)改写成 [*] 在xOz平面上给出f(x，y)取正值的区域为0＜x＜1，z-x=1，z-x=0所围成的区域记为D(见图中阴影部分) [*] fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z—x)dx． 下面只需在f(x，y)取正值的区域D对x积分．为此，将区域D分成两部分D1与D2，即 当0≤z＜1时， fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z—x)dx=∫0z(2一x)dx=z(2一z)； 当1≤z＜2时， fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z—x)dx=∫z-11(2一z)dx=(2—z)2． 当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z-x＜1，f(x，x—x)=0，则fZ(z)=0． 综上所述，[*]
解析
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考研数学一

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