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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(α>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)/af’(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(α>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)/af’(ξ).
admin
2021-10-18
33
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(α>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)/af’(ξ).
选项
答案
令φ(x)=(b-x)
a
f(x).显然φ(x)在[a,b]E连续,在(a,b)内可导,因为φ(a)=φ(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(a,b)。使得φ’(ξ)=0,由φ’(x)=(b-x)
a-1
[(b-x)f’(x)-af(x)]得(b-ξ)
a-1
[(b-ξ)f’(ξ)-af(ξ)]且(b-ξ)
a-1
≠0,故f(ξ)=(b-ξ)/af’(ξ).
解析
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考研数学二
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