设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(α>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)/af’(ξ).

admin2021-10-18  31

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(α>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)/af’(ξ).

选项

答案令φ(x)=(b-x)af(x).显然φ(x)在[a,b]E连续,在(a,b)内可导,因为φ(a)=φ(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(a,b)。使得φ’(ξ)=0,由φ’(x)=(b-x)a-1[(b-x)f’(x)-af(x)]得(b-ξ)a-1[(b-ξ)f’(ξ)-af(ξ)]且(b-ξ)a-1≠0,故f(ξ)=(b-ξ)/af’(ξ).

解析
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