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  3. 设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)

设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)

admin2019-08-23  98
问题 设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)
选项
答案令F(χ)＝∫aχf(t)dt，则F(χ)在[a，b]上三阶连续可导，取χ0＝[*]，由泰勒公式得 F(a)＝F(χ0)＋F′(χ0)(a－χ0)＋[*](a－χ0)2＋[*](a－χ0)3，ξ1∈(a，χ0)， F(b)＝F(χ0)＋F′(χ0)(b－χ0)＋[*](b－χ0)2＋[*](b－χ0)3，ξ2∈(χ0，b)， 两式相减得F(b)－F(a)＝F′(χ0)(b－a)＋[*][F″′(ξ1)＋F″′(ξ2)]，即 ∫abf(χ)dχ＝(b－a)f[*][f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]， 因为f〞(χ)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得 f〞(ξ)＝[*][f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，从而 ∫abf(χ)dχ＝(b－a)f[*]f〞(ξ)．
解析
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考研数学二

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