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设f(χ)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(χ)dχ=(b-a)ff〞(ξ)
设f(χ)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(χ)dχ=(b-a)ff〞(ξ)
admin
2019-08-23
78
问题
设f(χ)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
b
f(χ)dχ=(b-a)f
f〞(ξ)
选项
答案
令F(χ)=∫
a
χ
f(t)dt,则F(χ)在[a,b]上三阶连续可导,取χ
0
=[*],由泰勒公式得 F(a)=F(χ
0
)+F′(χ
0
)(a-χ
0
)+[*](a-χ
0
)
2
+[*](a-χ
0
)
3
,ξ
1
∈(a,χ
0
), F(b)=F(χ
0
)+F′(χ
0
)(b-χ
0
)+[*](b-χ
0
)
2
+[*](b-χ
0
)
3
,ξ
2
∈(χ
0
,b), 两式相减得F(b)-F(a)=F′(χ
0
)(b-a)+[*][F″′(ξ
1
)+F″′(ξ
2
)],即 ∫
a
b
f(χ)dχ=(b-a)f[*][f〞(ξ
1
)+f〞(ξ
2
)], 因为f〞(χ)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得 f〞(ξ)=[*][f〞(ξ
1
)+f〞(ξ
2
)],从而 ∫
a
b
f(χ)dχ=(b-a)f[*]f〞(ξ).
解析
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0
考研数学二
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