设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

admin2019-09-27 22

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

选项

答案必要性：设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0，X^TB^TABX=(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n．充分性：反之，设r(B)=n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)＞0，因为(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，所以B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6ES4777K

考研数学一

相关试题推荐

设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=_________。
设f(x)=，则x2项的系数为_________．
幂级数的收敛域为_________．
设C为曲线y=的曲线段，则∫Ccosy2dx一2xysiny2dy=_________．
曲线上对应点t=2处的切线方程为___________．
设A是5×4矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量组的极大线性无关组是
已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r1，且BY=B无解，设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn，β)=r，则()
设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。(I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵；(Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。
设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0·证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．
已知齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

随机试题

髋部扭挫伤的临床表现包括
引起疖、痈的常见致病菌是
小儿肌肉注射时，应选择肌肉较丰富的臀大肌部位。()
全国、省级、地市级和县级土地利用总体规划属宏观控制性规划，乡级土地利用总体规划是实施性、管理性规划。()
关于出版物责任校对的说法，错误的是()。
材料：某教师设计了如下试题。城市的交叉路口通常都装有红、黄、绿三色灯来指挥车辆和行人通行。若每只灯的规格都是“220V300W”，则每组交通指挥灯(含红、黄、绿三种颜色灯)工作15h要消耗电能______J。问题：请对上述试题
对正在进行()的犯罪，采取防卫行为，造成不法侵害人伤亡的，不负刑事责任。
N-连接寡糖合成时所需糖基供体，必须先活化成下列何种衍生物
1938年，毛泽东首次提出“马克思主义中国化”的命题是在六届六中全会上作的
A、ShephonedFredaboutthebook.B、Shewaslatefortheappointment.C、SheranintoFredonherwayhere.D、Sheoftenkeepsoth

最新回复(0)

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

考研数学一

设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=_________。

设f(x)=，则x2项的系数为_________．

幂级数的收敛域为_________．

设C为曲线y=的曲线段，则∫Ccosy2dx一2xysiny2dy=_________．

曲线上对应点t=2处的切线方程为___________．

设A是5×4矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量组的极大线性无关组是

已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r1，且BY=B无解，设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn，β)=r，则()

设二次型为f﹦x12﹢2x22﹢6x32﹢2x1x2﹢2x1x3﹢6x2x3。(I)用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵；(Ⅱ)证明二次型对应的矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A﹦UTU。

设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0·证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．

已知齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

髋部扭挫伤的临床表现包括

引起疖、痈的常见致病菌是

小儿肌肉注射时，应选择肌肉较丰富的臀大肌部位。()

全国、省级、地市级和县级土地利用总体规划属宏观控制性规划，乡级土地利用总体规划是实施性、管理性规划。()

关于出版物责任校对的说法，错误的是()。

材料：某教师设计了如下试题。城市的交叉路口通常都装有红、黄、绿三色灯来指挥车辆和行人通行。若每只灯的规格都是“220V300W”，则每组交通指挥灯(含红、黄、绿三种颜色灯)工作15h要消耗电能______J。问题：请对上述试题

对正在进行()的犯罪，采取防卫行为，造成不法侵害人伤亡的，不负刑事责任。

N-连接寡糖合成时所需糖基供体，必须先活化成下列何种衍生物

1938年，毛泽东首次提出“马克思主义中国化”的命题是在六届六中全会上作的

A、ShephonedFredaboutthebook.B、Shewaslatefortheappointment.C、SheranintoFredonherwayhere.D、Sheoftenkeepsoth