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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明 ∫baf(x)dx﹦[f(a)﹢f(b)]﹢∫baf”(x)(x-a)(x-b)dx。
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明 ∫baf(x)dx﹦[f(a)﹢f(b)]﹢∫baf”(x)(x-a)(x-b)dx。
admin
2019-01-22
51
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明
∫
b
a
f(x)dx﹦
[f(a)﹢f(b)]﹢
∫
b
a
f
”
(x)(x-a)(x-b)dx。
选项
答案
由分部积分法得 ∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x-b) ﹦f(a)(b-a)-∫
a
b
f
’
(x)(x-b)d(x-a) ﹦f(a)(b-a)﹢∫
a
b
(x-a)d[f
’
(x)(x-b)] ﹦f(a)(b-a)﹢∫
a
b
(x-a)df(x)﹢∫
a
b
f
”
(x)(x-a)(x-b)dx ﹦f(a)(b-a)﹢f(b)(b-a)-∫
a
b
f(x)d(x-a)﹢∫
a
b
f
”
(x)(x-a)(x-b)dx, 移项并整理得 ∫
a
b
f(x)dx﹦[*](b-a)[f(a)﹢f(b)]﹢[*]∫
a
b
f
”
(x)(x-a)(x-b)dx。 本题考查定积分的求解。观察题目要证明的等式,我们可以发现等式右端的被积函数中包含f
”
(x)的形式,因此我们可以考虑使用分部积分法进行求解。同时,由于等式左端的被积函数是f(x),所以在求解过程中要多次使用分部积分法。
解析
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考研数学一
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