非齐次线性方程组Aχ=b中未知量的个数为n,方程个数为m,系数矩阵的秩为r,则( )

admin2019-01-14  25

问题 非齐次线性方程组Aχ=b中未知量的个数为n,方程个数为m,系数矩阵的秩为r,则(    )

选项 A、r=m时,方程组Aχ=b有解.
B、r=n时,方程组Aχ=b有唯一解.
C、m=n时,方程组Aχ=b有唯一解.
D、r<n时,方程组有无穷多个解.

答案A

解析 对于选项A,r(A)=r=m.由于
    r(Ab)≥m=r,
    且r(Ab)≤min{m,n+1}=min{r,n+1}=r,
    因此必有(Ab)=r,
    从而r(A)=r(Ab),
    所以,此时方程组有解,所以应选A.
    由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等.
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