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设A=E+αβT,其中α=[α1,α2,…,αn]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. 求A的特征值和特征向量;
设A=E+αβT,其中α=[α1,α2,…,αn]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. 求A的特征值和特征向量;
admin
2015-07-22
43
问题
设A=E+αβ
T
,其中α=[α
1
,α
2
,…,α
n
]
T
≠0,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
≠0,且α
T
β=2.
求A的特征值和特征向量;
选项
答案
设(E+αβ
T
)ξ=λξ. 左乘β
T
,β
T
(E+αβ
T
)ξ=(β
T
+β
T
αβ
T
)ξ=(1+β
T
α)β
T
ξ=λβ
T
ξ, 若β
T
ξ≠0,则λ=1+β
T
α=3; 若β
T
ξ=0,则由①式,λ=1. [*] 即[b
1
,b
2
,…,b
n
]X=0,因α
T
β=2,故α≠O,β=0,设b
1
≠0,则 ξ
1
=[b
2
,一b
1
,0,…,0]
T
,ξ
2
=[b
3
,0,-b
1
,0]
T
,…,ξ
n-1
=[b
n
,0,…,0,-b
1
]
T
; λ=3时,(3E-A)X=(2E一αβ
T
)X=0,ξ
n
=α=[α
1
,α
2
,…,α
n
]
T
.
解析
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0
考研数学三
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