设A是n阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有αTAα=0，证明A=0．

admin2018-06-15 49

问题设A是n阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有α^TAα=0，证明A=0．

选项

答案[*]n维向量α恒有α^TAα=0，那么令α₁=(1，0，0，…，0)^T，有 α₁^TAα₁ [*] =a₁₁=0．类似地，令α_i=(0，0，…，0，1，0，…，0)^T(第i个分量为1)，由α_i^TAα_i=a_ii=0 (i=1，2，…，n)．令α₁₂=(1，1，0，…，0)^T，则有 α₁₂^TAα₁₂ [*] =a₁₁+a₂₂+2a₁₂=0．故a₁₂=0．类似可知a_ij=0(i，j=1，2，…，n)．所以A=0．

解析

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