函数f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_________．

admin2016-01-15 67

问题函数f(x，y)=x²y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_________．

选项

答案一64

解析根据题意可知，

得区域。内驻点(2，1)．则有
f"_xx=8y一6xy一2y²；
f"_xy=8x一3x²一4xy；
f"_yy=一2x²
则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B²=32＞0，且A＜0．
所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．
当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，
则z=2x³一12x²(0≤x≤6)，且

=6x²一24x．
令

=0，解得x=4．则y=2，f(4，2)=一64．且f(2，1)=4，f(0，0)=0．
则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．

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考研数学一

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