已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。

admin2017-01-21 73

问题已知λ₁，λ₂，λ₃是A的特征值，α₁，α₂，α₃是相应的特征向量且线性无关。证明：如α₁+α₂+α₃仍是A的特征向量，则λ₁=λ₂=λ₃。

选项

答案若α₁+α₂+α₃是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则 A（α₁+α₂+α₃）=A（α₁+α₂+α₃）。又A（α₁+α₂+α₃）=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃，于是有（λ—λ₁）α₁+（λ—λ₂）α₂+（λ—λ₃）α₃=0。因为α₁，α₂，α₃线性无关，故λ—λ₁=0，λ—λ₂=0，λ—λ₃=0，即λ₁=λ₂=λ₃。

解析

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考研数学三

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