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已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明:如α1+α2+α3仍是A的特征向量,则λ1=λ2=λ3。
已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明:如α1+α2+α3仍是A的特征向量,则λ1=λ2=λ3。
admin
2017-01-21
53
问题
已知λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的特征值,α
1
,α
2
,α
3
是相应的特征向量且线性无关。证明:如α
1
+α
2
+α
3
仍是A的特征向量,则λ
1
=λ
2
=λ
3
。
选项
答案
若α
1
+α
2
+α
3
是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则 A(α
1
+α
2
+α
3
)=A(α
1
+α
2
+α
3
)。 又A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
,于是有 (λ—λ
1
)α
1
+(λ—λ
2
)α
2
+(λ—λ
3
)α
3
=0。 因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故λ—λ
1
=0,λ—λ
2
=0,λ—λ
3
=0,即λ
1
=λ
2
=λ
3
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6QH4777K
0
考研数学三
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