求下列方程的通解: (Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y; (Ⅱ)xy′=+y.

admin2016-10-26  20

问题 求下列方程的通解:
(Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y;
(Ⅱ)xy′=+y.

选项

答案(Ⅰ)属变量可分离的方程,分离变量改写为 [*]=(sinlnx+coslnx+a)dx. 两端求积分,由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-∫cos(lnx).[*]dx=xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx, 所以通解为ln|y|=xsin(lnx)+ax+lnC,或y=Cexsin(lnx)+ax,其中C为任意常数. (Ⅱ)属齐次方程.令y=xu,并且当x>0时,原方程可化为 xu′+u=[*]. 两端求积分,则得arcsinu=lnx+C,即其通解为arcsin[*]=lnx+C,其中C为任意常数. 当x<0时,上述方程变为[*],其通解应为arcsin[*]=-ln|x|+C,其中C为任意常数. 所得的通解公式也可以统一为y=|x|sin(ln|x|+C).此处还需注意,在上面作除法的过程中丢植了两个特解u=±1.即y=±x.

解析
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