设二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。

admin2018-02-07 66

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=3x₁²+3x₂²+5x₃²+4x₁x₃—4x₂x₃。
求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=[*]=(λ—1)(λ一3)(λ一7)，矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=3，λ₃=7。由(λ_iE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ₁=1，λ₂=3，λ₃=7对应的特征向量分别为 α₁=(一1，1，1)^T，α₂=(1，1，0)^T，α₃=(1，一1，2)^T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α₁，α₂，α₃单位化，即 [*] 且二次型x^TAx在正交变换x=Py下的标准形为f=y₁²+3y₂²+7y₃²。

解析

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考研数学二

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