2. 考研
  3. (18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． (1)求f(x)； (2)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1．求a的值．

(18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． (1)求f(x)； (2)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1．求a的值．

admin2018-07-27  59
问题 (18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2．
    (1)求f(x)；
    (2)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1．求a的值．
选项
答案(1)令u=x—t，则 ∫0xtf(x-t)dt=∫0x(x-u)f(u)du=x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du 由题设知 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du=ax2． 对上式两端求导得 f(x)+∫0xf(u)du=2ax 所以f(x)可导，f(0)=0，且 f’(x)+f(x)=2a 于是， f(x)=e-x(C+∫2aexdx)=Ce-x+2a． 由f(0)=0，得C=-2a，从而f(x)=2a(1一e-x)． (2)∫012(1-e-x)dx=[*]
解析
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考研数学二

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