(18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. (1)求f(x); (2)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1.求a的值.

admin2018-07-27  55

问题 (18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2
    (1)求f(x);
    (2)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1.求a的值.

选项

答案(1)令u=x—t,则 ∫0xtf(x-t)dt=∫0x(x-u)f(u)du=x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du 由题设知 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du=ax2. 对上式两端求导得 f(x)+∫0xf(u)du=2ax 所以f(x)可导,f(0)=0,且 f’(x)+f(x)=2a 于是, f(x)=e-x(C+∫2aexdx)=Ce-x+2a. 由f(0)=0,得C=-2a,从而f(x)=2a(1一e-x). (2)∫012(1-e-x)dx=[*]

解析
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