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(18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. (1)求f(x); (2)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1.求a的值.
(18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. (1)求f(x); (2)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1.求a的值.
admin
2018-07-27
55
问题
(18年)已知连续函数f(x)满足∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x一t)dt=ax
2
.
(1)求f(x);
(2)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1.求a的值.
选项
答案
(1)令u=x—t,则 ∫
0
x
tf(x-t)dt=∫
0
x
(x-u)f(u)du=x∫
0
x
f(u)du-∫
0
x
uf(u)du 由题设知 ∫
0
x
f(t)dt+x∫
0
x
f(u)du-∫
0
x
uf(u)du=ax
2
. 对上式两端求导得 f(x)+∫
0
x
f(u)du=2ax 所以f(x)可导,f(0)=0,且 f’(x)+f(x)=2a 于是, f(x)=e
-x
(C+∫2ae
x
dx)=Ce
-x
+2a. 由f(0)=0,得C=-2a,从而f(x)=2a(1一e
-x
). (2)∫
0
1
2(1-e
-x
)dx=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6bj4777K
0
考研数学二
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