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设A为3阶实对称矩阵,A2+2A=0,r(A)=2,且A+kE为正定矩阵。其中E为3阶单位矩阵,则k满足的条件为( )
设A为3阶实对称矩阵,A2+2A=0,r(A)=2,且A+kE为正定矩阵。其中E为3阶单位矩阵,则k满足的条件为( )
admin
2021-04-16
39
问题
设A为3阶实对称矩阵,A
2
+2A=0,r(A)=2,且A+kE为正定矩阵。其中E为3阶单位矩阵,则k满足的条件为( )
选项
A、k>2
B、k≥2
C、k<-3
D、k≤-3
答案
A
解析
设λ为A的特征值,对应的特征向量为α(α≠0),则Aα=λα,于是(A
2
+2A)α=(λ
2
+2λ)α=0,又由于α≠0,故有λ
2
+2λ=0,解得λ=-2,λ=0,因为实对称矩阵A必可相似对角化,又r(A)=2,所以A~A=
。
因此,A的特征值为λ
1
=λ
2
=-2,λ
3
=0,矩阵A+kE的特征值为-2+k,-2+k,k,于是,A+kE为正定矩阵当且仅当A+kE的特征值全大于零,这等价于k>2,对于实对称矩阵A,存在可逆矩阵P,使得p
-1
AP=A,于是A+kE=PAP
-1
+kPP
-1
=P(A+kE)P
-1
,所以A+kE~A+kE=
,
因此A+kE正定的充分必要条件是其顺序主子式均大于0,即k需满足k-2>0,(k-2)
2
>0,(k-2)
2
k>0,由此也可得到k>2的条件。
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考研数学三
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