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  3. 设A为3阶实对称矩阵，A2+2A=0，r(A)=2，且A+kE为正定矩阵。其中E为3阶单位矩阵，则k满足的条件为( )

设A为3阶实对称矩阵，A2+2A=0，r(A)=2，且A+kE为正定矩阵。其中E为3阶单位矩阵，则k满足的条件为( )

admin2021-04-16  51
问题 设A为3阶实对称矩阵，A2+2A=0，r(A)=2，且A+kE为正定矩阵。其中E为3阶单位矩阵，则k满足的条件为(       )
选项 A、k＞2
B、k≥2
C、k＜-3
D、k≤-3
答案A
解析 设λ为A的特征值，对应的特征向量为α(α≠0)，则Aα=λα，于是(A2+2A)α=(λ2+2λ)α=0，又由于α≠0，故有λ2+2λ=0，解得λ=-2，λ=0，因为实对称矩阵A必可相似对角化，又r(A)=2，所以A～A=。
因此，A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=0，矩阵A+kE的特征值为-2+k，-2+k，k，于是，A+kE为正定矩阵当且仅当A+kE的特征值全大于零，这等价于k＞2，对于实对称矩阵A，存在可逆矩阵P，使得p-1AP=A，于是A+kE=PAP-1+kPP-1=P(A+kE)P-1，所以A+kE～A+kE=，
因此A+kE正定的充分必要条件是其顺序主子式均大于0，即k需满足k-2＞0，(k-2)2＞0，(k-2)2k＞0，由此也可得到k＞2的条件。
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考研数学三

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