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设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0,且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小,则y(x)=( )
设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0,且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小,则y(x)=( )
admin
2019-07-12
56
问题
设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0,且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小,则y(x)=( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
C
解析
原方程可化为
=-1,其通解为
y=
=x+Cx
2
。
曲线y=x+Cx
2
与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
V(C)=π∫
0
1
(x+Cx
2
)2dx=π
令V'(C)=π
=0,得C=一
。
V"(C)=
π>0.
故C=一
是唯一的极值点,则为最小值点,所以y=x一
x
2
,故选C。
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考研数学三
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