设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导，f(0)=0,且f(1)=1,证明：存在ξ∈（0,1）,使得ξf"(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.

admin2021-07-15 51

问题设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导，f(0)=0,且f(1)=1,证明：
存在ξ∈（0,1）,使得ξf"(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.

选项

答案作辅助函数显然F（0）=F（x₀)=0,F(x)在(0,1)上可导，且 F’(x)=(1+x)e^x[f’(x)－1]+xe^xf"(x) 根据罗尔定理，存在ξ∈（0，x₀),使得F’(ξ)=0,即 ξf"(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ

解析

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