2. 考研
  3. 设函数f(x)在（－∞，+∞）内连续，其一阶导函数f’(x)的图形如图所示，并设在f’(x)存在处f"(x)亦存在，则函数f(x)及曲线y=f(x)( )。

设函数f(x)在（－∞，+∞）内连续，其一阶导函数f’(x)的图形如图所示，并设在f’(x)存在处f"(x)亦存在，则函数f(x)及曲线y=f(x)( )。

admin2021-07-02  26
问题 设函数f(x)在（－∞，+∞）内连续，其一阶导函数f’(x)的图形如图所示，并设在f’(x)存在处f"(x)亦存在，则函数f(x)及曲线y=f(x)(    )。
选项 A、只有1个极大值点与1个拐点
B、有1个极小值点，1个极大值点与2个拐点
C、有1个极小值点，1个极大值点与2个拐点
D、有1个极小值点，1个极大值点与3个拐点
答案D
解析 选项中涉及极大值点，极小值点以及拐点，所以应从所给f’(x)的图形中推出f"(x)的图形，为叙述方便，将原图注以字母，如图所示。

在x=x1处，[f’(x)]’=f"(x)=0,在x=x1左侧邻域，f"(x)=[f’(x)]’＞0;
在x=x1右侧邻域，f”(x)=[f’(x)]’＜0,所以点（x1，f(x1))是曲线y=f(x)的一个拐点，由左至右自凹变凸，而在x=x1两侧，f’(x)不变号，因此x=x1不是极值点。
在x=0左侧邻域，f’(x)＜0,f"(x)=[f’(x)]’＜0,在x=0右侧邻域，f’（x)＞0,f"(x)=[f’(x)]’＞0,所以x=0是f(x)的极小值点，点（0，f(0))又是曲线y=f(x)的一个拐点，由左至右，自凸变凹。
在x=x2处，类似于x=x1处的讨论，点（x2,f(x2))是曲线y=f(x)的一个拐点，由左至右，自凹变凸，又f’(x2)≠0,故x=x2不是极值点。
在x=x3处，f’(x3)=0,在x=x3左侧邻域，f’(x)＞0,在x=x3处右侧邻域，f’(x)＜0,所以x=x3是极大值点，又f”（x3）≠0，故（x3，f(x3))不是拐点。
综上，f(x)有1个极小值点（x=0),1个极大值点（x=x3),3个拐点（x1，f(x1)),(0,f(0)),(x2,f(x2)).选D.
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考研数学二

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