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设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其一阶导函数f’(x)的图形如图所示,并设在f’(x)存在处f"(x)亦存在,则函数f(x)及曲线y=f(x)( )。
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其一阶导函数f’(x)的图形如图所示,并设在f’(x)存在处f"(x)亦存在,则函数f(x)及曲线y=f(x)( )。
admin
2021-07-02
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问题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其一阶导函数f’(x)的图形如图所示,并设在f’(x)存在处f"(x)亦存在,则函数f(x)及曲线y=f(x)( )。
选项
A、只有1个极大值点与1个拐点
B、有1个极小值点,1个极大值点与2个拐点
C、有1个极小值点,1个极大值点与2个拐点
D、有1个极小值点,1个极大值点与3个拐点
答案
D
解析
选项中涉及极大值点,极小值点以及拐点,所以应从所给f’(x)的图形中推出f"(x)的图形,为叙述方便,将原图注以字母,如图所示。
在x=x
1
处,[f’(x)]’=f"(x)=0,在x=x
1
左侧邻域,f"(x)=[f’(x)]’>0;
在x=x
1
右侧邻域,f”(x)=[f’(x)]’<0,所以点(x
1
,f(x
1
))是曲线y=f(x)的一个拐点,由左至右自凹变凸,而在x=x
1
两侧,f’(x)不变号,因此x=x
1
不是极值点。
在x=0左侧邻域,f’(x)<0,f"(x)=[f’(x)]’<0,在x=0右侧邻域,f’(x)>0,f"(x)=[f’(x)]’>0,所以x=0是f(x)的极小值点,点(0,f(0))又是曲线y=f(x)的一个拐点,由左至右,自凸变凹。
在x=x
2
处,类似于x=x
1
处的讨论,点(x
2
,f(x
2
))是曲线y=f(x)的一个拐点,由左至右,自凹变凸,又f’(x
2
)≠0,故x=x
2
不是极值点。
在x=x
3
处,f’(x
3
)=0,在x=x
3
左侧邻域,f’(x)>0,在x=x
3
处右侧邻域,f’(x)<0,所以x=x
3
是极大值点,又f”(x
3
)≠0,故(x
3
,f(x
3
))不是拐点。
综上,f(x)有1个极小值点(x=0),1个极大值点(x=x
3
),3个拐点(x
1
,f(x
1
)),(0,f(0)),(x
2
,f(x
2
)).选D.
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考研数学二
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