2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，满足 Aα1=－α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3， 其中α1=(0，1，1)T，α2=(1，0，1)T，α3=(1，1，0)T． 证明：A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P－1AP=A．

设A是3阶矩阵，满足 Aα1=－α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3， 其中α1=(0，1，1)T，α2=(1，0，1)T，α3=(1，1，0)T． 证明：A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P－1AP=A．

admin2016-07-22  23
问题 设A是3阶矩阵，满足
Aα1=－α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3，
其中α1=(0，1，1)T，α2=(1，0，1)T，α3=(1，1，0)T．
证明：A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P－1AP=A．
选项
答案由题设条件，合并得 A(α1，α2，α3)=(－α1，α1+2α2，α1+3α2+α3) =(α1，α2，α3)[*]QB， 其中Q=(α1，α2，α3)，｜Q｜=[*]=2≠0，Q可逆，B=[*] 则有AQ=QB，Q－1AQ=B，即A～B，所以A和B有相同的特征值． ｜λE－A｜=｜λE－B｜=[*]=(λ+1)(λ－2)(λ－1)， 故A，B有特征值λ1=－1，λ2=2，λ3=1，λ1，λ2，λ3互不相同． 知A～A=[*] 当λ1=－1时，(λ1E－B)X=0， [*]，解得ξ1=(1，0，0)T． 当λ2=2时，(λ2E－B)X=0， [*]，解得ξ2=(1，3，0)T． 当λ3=1时，(λ3E－B)X=0， [*]
解析
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考研数学二

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