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设A是3阶矩阵,满足 Aα1=-α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α1+3α2+α3, 其中α1=(0,1,1)T,α2=(1,0,1)T,α3=(1,1,0)T. 证明:A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.
设A是3阶矩阵,满足 Aα1=-α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α1+3α2+α3, 其中α1=(0,1,1)T,α2=(1,0,1)T,α3=(1,1,0)T. 证明:A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.
admin
2016-07-22
20
问题
设A是3阶矩阵,满足
Aα
1
=-α
1
,Aα
2
=α
1
+2α
2
,Aα
3
=α
1
+3α
2
+α
3
,
其中α
1
=(0,1,1)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
,α
3
=(1,1,0)
T
.
证明:A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P
-1
AP=A.
选项
答案
由题设条件,合并得 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(-α
1
,α
1
+2α
2
,α
1
+3α
2
+α
3
) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*]QB, 其中Q=(α
1
,α
2
,α
3
),|Q|=[*]=2≠0,Q可逆,B=[*] 则有AQ=QB,Q
-1
AQ=B,即A~B,所以A和B有相同的特征值. |λE-A|=|λE-B|=[*]=(λ+1)(λ-2)(λ-1), 故A,B有特征值λ
1
=-1,λ
2
=2,λ
3
=1,λ
1
,λ
2
,λ
3
互不相同. 知A~A=[*] 当λ
1
=-1时,(λ
1
E-B)X=0, [*],解得ξ
1
=(1,0,0)
T
. 当λ
2
=2时,(λ
2
E-B)X=0, [*],解得ξ
2
=(1,3,0)
T
. 当λ
3
=1时,(λ
3
E-B)X=0, [*]
解析
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