2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，其中α1≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关． (2)求A的特征值、特征向量．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，其中α1≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关． (2)求A的特征值、特征向量．

admin2017-07-26  38
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，其中α1≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0．
    (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关．
    (2)求A的特征值、特征向量．
选项
答案(1)设k1α1+k2α2+…+knαn=0， ① 据已知条件，有 Aα1=α2， A2α1=Aα2=α3，…， An—1α1=An—2α2=…—Aαn—1=αn， Anα1=An—1α2=…=Aαn=0， 于是，用An—1左乘①式，得 k1αn=0． 由于αn≠0，得k1=0． 再依次用An—2，An—3，…，左乘①式，可得到k1=k2=…=kn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关． (2)将Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn=0用矩阵表示为 A[α1，α2，…，αn]=[α1，α2，…，αn—1，0] =[α1，α2，…，αn][*] 从α1，α2，…，αn线性无关知，矩阵[α1，α2，…，αn]可逆，从而 [*] 得知A的特征值全为0，又因r(A)=r(B)n—1，所以齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n一(n一1)—1个向量组成，所以A的全部特征向量为kαn，k≠0．
解析
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考研数学三

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