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设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,其中α1≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn—1=αn,Aαn=0. (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关. (2)求A的特征值、特征向量.
设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,其中α1≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn—1=αn,Aαn=0. (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关. (2)求A的特征值、特征向量.
admin
2017-07-26
50
问题
设A是n阶矩阵,α
1
,α
2
,…,α
n
是n维列向量,其中α
1
≠0,若Aα
1
=α
2
,Aα
2
=α
3
,…,Aα
n—1
=α
n
,Aα
n
=0.
(1)证明:α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
(2)求A的特征值、特征向量.
选项
答案
(1)设k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=0, ① 据已知条件,有 Aα
1
=α
2
, A
2
α
1
=Aα
2
=α
3
,…, A
n—1
α
1
=A
n—2
α
2
=…—Aα
n—1
=α
n
, A
n
α
1
=A
n—1
α
2
=…=Aα
n
=0, 于是,用A
n—1
左乘①式,得 k
1
α
n
=0. 由于α
n
≠0,得k
1
=0. 再依次用A
n—2
,A
n—3
,…,左乘①式,可得到k
1
=k
2
=…=k
n
=0,所以α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关. (2)将Aα
1
=α
2
,Aα
2
=α
3
,…,Aα
n
=0用矩阵表示为 A[α
1
,α
2
,…,α
n
]=[α
1
,α
2
,…,α
n—1
,0] =[α
1
,α
2
,…,α
n
][*] 从α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关知,矩阵[α
1
,α
2
,…,α
n
]可逆,从而 [*] 得知A的特征值全为0,又因r(A)=r(B)n—1,所以齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n一(n一1)—1个向量组成,所以A的全部特征向量为kα
n
,k≠0.
解析
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考研数学三
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