(16年)已知函数f(x)在的一个原函数，且f(0)=0． (I)求f(x)在区间上的平均值； (Ⅱ)证明f(x)在区间内存在唯一零点．

admin2021-01-19 113

问题 (16年)已知函数f(x)在

的一个原函数，且f(0)=0．
(I)求f(x)在区间

上的平均值；
(Ⅱ)证明f(x)在区间

内存在唯一零点．

选项

答案(I)f(x)在区间[*]上的平均值 [*] 当0＜x＜[*]因为f’(x)＜0，所以f(x)＜f(0)=0，故f(x)在[*]内无零点，且[*] 由积分中值定理，存在[*]．使得f(x₀)=[*]由于当[*]f(x)＜0，所以[*] 根据连续函数介值定理，存在[*]，使得f(ξ)=0．又因为当[*]f’(x)＞0，所以f(x)在[*]内至多只有一个零点．综上所述，f(x)在[*]内存在唯一的零点．

解析

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