[2009年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3．求二次型f(x1，x2，x3)的矩阵的所有特征值；

admin2021-01-19 80

问题 [2009年] 设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃—2x₂x₃．
求二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵的所有特征值；

选项

答案求出A的特征值(用a表示)，利用规范形的概念求出a，确定特征值．二次型矩阵为A=[*]由 [*] =(λ一a)[(λ一a)(λ—a+1)一2]=(λ一a)[(λ—a)²+(λ一a)一2] =(λ一a)[(λ一a)+2][(λ一a)一1]=0，得到A的三个特征值为λ₁=a，λ₂=a+1，λ₃=a一2．

解析

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考研数学二

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[*]
设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．
已知实矩阵A的伴随矩阵若矩阵B满足ABA-1=一BA-1+2E，求B．
设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—XXT的秩为______。
设e＜a＜6，证明a2＜＜b2。
求微分方程=x2+y2满足条件y|x=e=2e的特解．
(2003年试题，八)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点其上任一点P(x，y)处的法线与)，轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．已知曲线)，=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．
(2001年)设f(χ)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0，(1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f〞(η)＝∫-aaf(χ)dχ
设,B为三阶非零矩阵，且满足，BA=0，则当λ满足________时，B的秩恰为1．
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