作自变量替换，把方程变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解。

admin2018-11-16 99

问题作自变量替换

，把方程

变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解。

选项

答案方法一：(Ⅰ)先求[*] ①，即[*] ②，再求①求导，得[*]，即[*]。将①代入→[*] ③，将②，③代入原方程得[*] ④。 (Ⅱ)求解二阶常系数性方程④相应的特征方程λ²+2λ+1=0，有重根λ=-1。非齐次方程可设特解y^*=Asint+Bcost，代入④得-(Asint+Bcost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即Acost-Bsint=sint，比较系数得A=0，B=-1。即y^*(t)=-cost，因此④的通解为y=(C₁+C₂t)e^-t-cost。 (Ⅲ)原方程的通解为[*]，其中[*]。方法二、先求[*] ⑤，[*] ⑥，再将⑤求导得[*]，即[*] ⑦。将⑥，⑦代入原方程得[*]余下步骤同前。

解析

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考研数学三

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