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作自变量替换,把方程变换成y关于t的微分方程,并求原方程的通解。
作自变量替换,把方程变换成y关于t的微分方程,并求原方程的通解。
admin
2018-11-16
77
问题
作自变量替换
,把方程
变换成y关于t的微分方程,并求原方程的通解。
选项
答案
方法一:(Ⅰ)先求[*] ①,即[*] ②,再求①求导,得[*],即[*]。将①代入→[*] ③,将②,③代入原方程得[*] ④。 (Ⅱ)求解二阶常系数性方程④相应的特征方程λ
2
+2λ+1=0,有重根λ=-1。非齐次方程可设特解y
*
=Asint+Bcost,代入④得-(Asint+Bcost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint,即Acost-Bsint=sint,比较系数得A=0,B=-1。即y
*
(t)=-cost,因此④的通解为y=(C
1
+C
2
t)e
-t
-cost。 (Ⅲ)原方程的通解为[*],其中[*]。 方法二、先求[*] ⑤,[*] ⑥, 再将⑤求导得[*],即[*] ⑦。将⑥,⑦代入原方程得[*]余下步骤同前。
解析
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考研数学三
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