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设函数f(x)在[—1,1]上连续,在点x=0处可导,且f’(0)≠0. (Ⅰ)求证:给定的x∈(0,1),至少存在一个θ∈(0,1)使得 ∫0xf(t)dt+∫0—xf(t)dt=x[f(θx)—f(—θx)]; (Ⅱ)求极限.
设函数f(x)在[—1,1]上连续,在点x=0处可导,且f’(0)≠0. (Ⅰ)求证:给定的x∈(0,1),至少存在一个θ∈(0,1)使得 ∫0xf(t)dt+∫0—xf(t)dt=x[f(θx)—f(—θx)]; (Ⅱ)求极限.
admin
2015-04-30
72
问题
设函数f(x)在[—1,1]上连续,在点x=0处可导,且f’(0)≠0.
(Ⅰ)求证:
给定的x∈(0,1),至少存在一个θ∈(0,1)使得
∫
0
x
f(t)dt+∫
0
—x
f(t)dt=x[f(θx)—f(—θx)];
(Ⅱ)求极限
.
选项
答案
(Ⅰ)记F(x)=∫
0
x
f(t)dt+∫
0
—x
f(t)dt→F(x)在(—l,l)内可导,注意F(0)=0,F’(x)=f(x)—f(—x),由拉格朗日中值定理→[*]0(0<θ<1)使 F(x)=F(x)—F(0)=F’(θx).x=x[f(θx)一f(—θx)]. 其中ξ在0与x之间,故ξ=θx,0<0<1. (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论导出θ与F(x)的关系式得 [*]
解析
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考研数学二
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