设函数f(x)在[—1，1]上连续，在点x=0处可导，且f’(0)≠0． (Ⅰ)求证：给定的x∈(0，1)，至少存在一个θ∈(0，1)使得 ∫0xf(t)dt+∫0—xf(t)dt=x[f(θx)—f(—θx)]； (Ⅱ)求极限．

admin2015-04-30 97

问题设函数f(x)在[—1，1]上连续，在点x=0处可导，且f’(0)≠0．
(Ⅰ)求证：

给定的x∈(0，1)，至少存在一个θ∈(0，1)使得
∫₀^xf(t)dt+∫₀^—xf(t)dt=x[f(θx)—f(—θx)]；
(Ⅱ)求极限

．

选项

答案(Ⅰ)记F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^—xf(t)dt→F(x)在(—l，l)内可导，注意F(0)=0，F’(x)=f(x)—f(—x)，由拉格朗日中值定理→[*]0(0＜θ＜1)使 F(x)=F(x)—F(0)=F’(θx).x=x[f(θx)一f(—θx)]．其中ξ在0与x之间，故ξ=θx，0＜0＜1． (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论导出θ与F(x)的关系式得 [*]

解析

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