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从抛物线y=x2—1的任意一点P(t,t2—1)引抛物线y=x2的两条切线, (Ⅰ) 求这两条切线的切线方程; (Ⅱ) 证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数.
从抛物线y=x2—1的任意一点P(t,t2—1)引抛物线y=x2的两条切线, (Ⅰ) 求这两条切线的切线方程; (Ⅱ) 证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数.
admin
2015-04-30
69
问题
从抛物线y=x
2
—1的任意一点P(t,t
2
—1)引抛物线y=x
2
的两条切线,
(Ⅰ) 求这两条切线的切线方程;
(Ⅱ) 证明该两条切线与抛物线y=x
2
所围面积为常数.
选项
答案
(Ⅰ) 抛物线y=x
2
在点(x
0
,x
0
2
)处的切线方程为 y=x
0
2
+2x
0
(x—x
0
),即y=2x
0
x一x
0
2
. 若它通过点P,则 t
2
—1=2x
0
t一x
0
2
,即x
0
2
一2x
0
t+t
2
一1=0. 解得x
0
的两个解 x
1
=t一1,x
2
=t+1. ① 从而求得从抛物线y=x
2
—1的任意一点P(t,t
2
—1)引抛物线y=x
2
的两条切线的方程是 L
1
:y=2x
1
x一x
1
2
;L
2
:y=2x
2
x一x
2
2
. Ⅱ 这两条切线与抛物线y=x
2
所围图形的面积为 [*] 下面S(t)为常数 求出S(t) [*]
解析
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考研数学二
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