从抛物线y=x2—1的任意一点P(t，t2—1)引抛物线y=x2的两条切线， (Ⅰ) 求这两条切线的切线方程； (Ⅱ) 证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．

admin2015-04-30 39

问题从抛物线y=x²—1的任意一点P(t，t²—1)引抛物线y=x²的两条切线，
(Ⅰ) 求这两条切线的切线方程；
(Ⅱ) 证明该两条切线与抛物线y=x²所围面积为常数．

选项

答案(Ⅰ) 抛物线y=x²在点(x₀，x₀²)处的切线方程为 y=x₀²+2x₀(x—x₀)，即y=2x₀x一x₀²．若它通过点P，则 t²—1=2x₀t一x₀²，即x₀²一2x₀t+t²一1=0．解得x₀的两个解 x₁=t一1，x₂=t+1． ① 从而求得从抛物线y=x²—1的任意一点P(t，t²—1)引抛物线y=x²的两条切线的方程是 L₁：y=2x₁x一x₁²；L₂：y=2x₂x一x₂²． Ⅱ 这两条切线与抛物线y=x²所围图形的面积为 [*] 下面S(t)为常数求出S(t) [*]

解析

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考研数学二

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从抛物线y=x2—1的任意一点P(t，t2—1)引抛物线y=x2的两条切线， (Ⅰ) 求这两条切线的切线方程； (Ⅱ) 证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．

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