2. 考研
  3. 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记 f(X)=，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，minf(X)=λ1=f(X1)，maxf(X)=λn=f(Xn)．

设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记 f(X)=，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，minf(X)=λ1=f(X1)，maxf(X)=λn=f(Xn)．

admin2018-08-02  39
问题 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记
f(X)=，X∈Rn，X≠0
证明：λ1≤f(X)≤λn，minf(X)=λ1=f(X1)，maxf(X)=λn=f(Xn)．
选项
答案只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，y=(y1，…，yn)T)，使得XTAX[*]=λ1y12+…+ λnyn2≤λn(y12+…+yn2)=λn‖Y‖2，由于正交变换不改变向量长度，故有‖Y‖2=‖X‖2=XTX，上式即XTAX≤λnXTX，当X≠0时，XTX＞0，即得f(X)=[*]≤λn，又f(Xn)=[*]=λn，于是得maxf(X)=λn．
解析
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考研数学二

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