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设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量,记 f(X)=,X∈Rn,X≠0 证明:λ1≤f(X)≤λn,minf(X)=λ1=f(X1),maxf(X)=λn=f(Xn).
设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量,记 f(X)=,X∈Rn,X≠0 证明:λ1≤f(X)≤λn,minf(X)=λ1=f(X1),maxf(X)=λn=f(Xn).
admin
2018-08-02
29
问题
设λ
1
、λ
n
分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X
1
、X
n
分别为对应于λ
1
和λ
n
的特征向量,记
f(X)=
,X∈R
n
,X≠0
证明:λ
1
≤f(X)≤λ
n
,minf(X)=λ
1
=f(X
1
),maxf(X)=λ
n
=f(X
n
).
选项
答案
只证最大值的情形(最小值情形的证明类似):必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵,y=(y
1
,…,y
n
)
T
),使得X
T
AX[*]=λ
1
y
1
2
+…+ λ
n
y
n
2
≤λ
n
(y
1
2
+…+y
n
2
)=λ
n
‖Y‖
2
,由于正交变换不改变向量长度,故有‖Y‖
2
=‖X‖
2
=X
T
X,上式即X
T
AX≤λ
n
X
T
X,当X≠0时,X
T
X>0,即得f(X)=[*]≤λ
n
,又f(X
n
)=[*]=λ
n
,于是得maxf(X)=λ
n
.
解析
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考研数学二
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