设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得f(x，y)g(x，y)dσ=f(ξ，η)g(x，y)dσ．

admin2019-05-11 103

问题设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得

f(x，y)g(x，y)dσ=f(ξ，η)

g(x，y)dσ．

选项

答案因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得 mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y) 积分得 [*] (1)当[*]g(x，y)dσ=0时，[*](x，y)g(x，y)dσ=0，则对任意的(ξ，η)∈D，有[*]f(x，y)g(x，y)dσ=(ξ，η)[*]g(x，y)dσ (2)当[*]g(x，y)dσ＞0时， [*] 由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得 [*] 即[*]f(x，y)g(x，y)dσ=f(ξ，η)[*]g(x，y)da．

解析

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