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设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(x,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)g(x,y)dσ.
设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(x,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)g(x,y)dσ.
admin
2019-05-11
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问题
设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(x,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得
f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)
g(x,y)dσ.
选项
答案
因为f(x,y)在D上连续,所以f(x,y)在D上取到最大值M和最小值m,故m≤f(x,y)≤M,又由g(x,y)≥0得 mg(x,y)≤f(x,y)g(x,y)≤Mg(x,y) 积分得 [*] (1)当[*]g(x,y)dσ=0时,[*](x,y)g(x,y)dσ=0,则对任意的(ξ,η)∈D,有[*]f(x,y)g(x,y)dσ=(ξ,η)[*]g(x,y)dσ (2)当[*]g(x,y)dσ>0时, [*] 由介值定理,存在(ξ,η)∈D,使得 [*] 即[*]f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)[*]g(x,y)da.
解析
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考研数学二
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