设函数f(x)=lnx+ (Ⅰ)求f(x)的最小值； (Ⅱ)设数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。

admin2018-04-14 87

问题设函数f(x)=lnx+

(Ⅰ)求f(x)的最小值；
(Ⅱ)设数列{x_n}满足lnx_n+

＜1，证明

x_n存在，并求此极限。

选项

答案(Ⅰ)f’(x)=[*]=(x－1)／x²，令f’(x)=0，得唯一驻点x=1，当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，函数单调递减；当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，函数单调递增。所以函数在x=1处取得最小值f(x)=1。 (Ⅱ)证明：由于lnx_n+[*]＜1，但lnx_n+[*]≥1，所以1／x_n+1＜1／x_n，故数列{x_n}单调递增。又由于lnx_n≤lnx_n+[*]＜1，得到0＜x_n＜e，数列{x_n}有界。由单调有界收敛定理可知极限[*]x_n存在。令[*]x_n=a，则 [*] 由(Ⅰ)的结论可知 [*]x_n=a=1。

解析

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