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设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.
设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.
admin
2019-12-26
27
问题
设A,B均为n阶方阵,A有n个互异特征值,且AB=BA.证明:B能相似于对角矩阵.
选项
答案
因A有n个互异特征值,所以存在可逆矩阵P,使 [*] 其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是A的特征值,且λ
i
≠λ
j
(i≠j).于是,根据题设AB=BA,得 (P
-1
AP)(P
-1
BP)=P
-1
ABP=P
-1
BAP=(P
-1
BP)(P
-1
AP), 即 Λ(P
-1
BP)=(P
-1
BP)Λ. 令P
-1
BP=(c
ij
)
n×n
,代入上式,有 [*] 比较两边元素得λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
,即(λ
i
-λ
j
)c
ij
=0.由此有c
ij
=0(i≠j),故 [*]
解析
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考研数学三
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