求下列幂级数的收敛域及其和函数：

admin2019-01-05 85

问题求下列幂级数的收敛域及其和函数：

选项

答案(Ⅰ)由于[*]均发散，所以其收敛域为(一1，1)．为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数．设 [*] 当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数可直接得出S(0)=a₀=1．综合得幂级数[*]的和函数 [*] 容易看出[*]=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质． (Ⅱ)利用同样的方法容易求得级数[*]n(n+1)xⁿ的收敛域为(一1，1)．令S(x)=[*]n(n+1)x^n—1应先进行两次逐项积分．即 [*]

解析

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