2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在x＝x0某邻域有二阶连续导数，曲线y＝f(x)和y＝g(x)有相同的凹凸性．求证： 曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)一g(x)＝o((x一x0)2)(x→x0)．

设f(x)，g(x)在x＝x0某邻域有二阶连续导数，曲线y＝f(x)和y＝g(x)有相同的凹凸性．求证： 曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)一g(x)＝o((x一x0)2)(x→x0)．

admin2017-08-18  49
问题 设f(x)，g(x)在x＝x0某邻域有二阶连续导数，曲线y＝f(x)和y＝g(x)有相同的凹凸性．求证：
曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)一g(x)＝o((x一x0)2)(x→x0)．
选项
答案相交与相切即f(x0)＝g(x0)，f’(x0)＝g’(x0)．若又有曲率相同，即 [*] 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)＝g’’(x0)＝0或f’’(x0)与g’’(x0)同号，于是 f’’(x0)＝g’’(x0)．因此，在所设条件下，曲线y＝f(x)，y＝g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率 [*] 即当x→x0时f(x)一g(x)是比(x一x0)2高阶的无穷小．
解析
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考研数学一

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