设f(x)在[一a,a](a>0)上有四阶连续的导数,存在. 证明:存在ξ1,ξ2∈[一a,a],使得

admin2015-07-24  46

问题 设f(x)在[一a,a](a>0)上有四阶连续的导数,存在.
证明:存在ξ1,ξ2∈[一a,a],使得

选项

答案上式两边积分得[*] 因为f(4)(x)在[一a,a]上为连续函数,所以f(4)(x)在[-a,a]上取到最大值M和最小值m,于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4, 两边在[一a,a]上积分得[*] 从而[*] 于是[*] 根据介值定理,存在ξ1∈[一a,a],使得f(4)1)=[*],或a5f(4)1)=[*] 再由积分中值定理,存在ξ2∈[一a,a],使得 a5f(4)1)=[*]=120af(ξ2),即a4f(4)1)=120f(ξ2).

解析
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