设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得

admin2015-07-24 53

问题设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
证明：存在ξ₁，ξ₂∈[一a，a]，使得

选项

答案上式两边积分得[*] 因为f⁽⁴⁾(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，两边在[一a，a]上积分得[*] 从而[*] 于是[*] 根据介值定理，存在ξ₁∈[一a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)＝[*]，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)＝[*] 再由积分中值定理，存在ξ₂∈[一a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)＝[*]＝120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)＝120f(ξ₂)．

解析

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考研数学一

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