设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},令U=(X+Y)2,试求EU与DU.

admin2014-02-06  34

问题 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},令U=(X+Y)2,试求EU与DU.

选项

答案求一个随机变量U的数字特征,可以先求出U的概率密度,再计算EU与DU. 【解法一】令V=X+Y,先求V的分布函数F(v)与密度函数f(v).[*]其中,D1与D2如图所示.于是[*]故[*]又[*]因此[*][*] 【解法二】直接应用随机变量函数的期望公式:若(X,y)~f(x,y),则有[*]具体到本题.[*][*] 【解法三】就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X,Y)的两个分量X与Y相互独立,且都服从区间[0,2]上均匀分布,因此有[*]EU2=E(X+Y)4=EX4+4EX3Y+6EX2Y2+4EXY3+EY4.由于X与Y独立,因此X3与Y,X2与Y2,X与Y3也分别独立,其乘积的期望等于期望的乘积.EU2=EX4+4EX3EY+6EX2EY2+4EXEY3+EY4

解析
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