求由球面x2+y2+z2=1，x2+y2+z2=4z及锥面z=的上半部分所围的均质物体对位于坐标原点处的质量为m的质点的引力，设其密度μ为常数．

admin2022-07-21 74

问题求由球面x²+y²+z²=1，x²+y²+z²=4z及锥面z=

的上半部分所围的均质物体对位于坐标原点处的质量为m的质点的引力，设其密度μ为常数．

选项

答案取三曲面围成的立体V内任一点P(x，y，z)处的微元dv，它对原点处的质点的引力大小为 [*] 由于向量OP与三坐标轴的正向夹角的余弦为 [*] 因此所求引力F=F_xi+F_yj+F_zk的大小的微元dF在三个坐标轴上的投影分别为 dF_x=cosαdF，dF_y=cosβdF，dF_x=cosγdF 于是 [*] 由被积函数的奇偶性及V关于坐标面的对称性知F_x=F_y=0．在球面坐标系下，题设的两个球面分别为r=1，r=4cosφ，锥面为φ=π/4，故 V={(r，φ，θ)｜4≤r≤4cosφ，0≤φ≤π/4，0≤θ≤2π} 于是 [*]

解析

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考研数学二

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求由球面x2+y2+z2=1，x2+y2+z2=4z及锥面z=的上半部分所围的均质物体对位于坐标原点处的质量为m的质点的引力，设其密度μ为常数．

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