2. 考研
  3. 求由球面x2+y2+z2=1，x2+y2+z2=4z及锥面z=的上半部分所围的均质物体对位于坐标原点处的质量为m的质点的引力，设其密度μ为常数．

求由球面x2+y2+z2=1，x2+y2+z2=4z及锥面z=的上半部分所围的均质物体对位于坐标原点处的质量为m的质点的引力，设其密度μ为常数．

admin2022-07-21  47
问题 求由球面x2+y2+z2=1，x2+y2+z2=4z及锥面z=的上半部分所围的均质物体对位于坐标原点处的质量为m的质点的引力，设其密度μ为常数．
选项
答案取三曲面围成的立体V内任一点P(x，y，z)处的微元dv，它对原点处的质点的引力大小为 [*] 由于向量OP与三坐标轴的正向夹角的余弦为 [*] 因此所求引力F=Fxi+Fyj+Fzk的大小的微元dF在三个坐标轴上的投影分别为 dFx=cosαdF，dFy=cosβdF，dFx=cosγdF 于是 [*] 由被积函数的奇偶性及V关于坐标面的对称性知Fx=Fy=0．在球面坐标系下，题设的两个球面分别为r=1，r=4cosφ，锥面为φ=π/4，故 V={(r，φ，θ)｜4≤r≤4cosφ，0≤φ≤π/4，0≤θ≤2π} 于是 [*]
解析
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考研数学二

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