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设f(x)在[0,1]上可导,且∫01xf(x)dx=f(1),试证:存在点ξ∈(0,1),使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上可导,且∫01xf(x)dx=f(1),试证:存在点ξ∈(0,1),使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0.
admin
2019-03-12
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问题
设f(x)在[0,1]上可导,且∫
0
1
xf(x)dx=f(1),试证:存在点ξ∈(0,1),使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0.
选项
答案
令F(x)=xf(x),则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.由积分中值定理,存在c∈[0,1],使得 f(1)=cf(c).于是,有F(c)=cf(c)=F(1)=f(1). 所以,F(z)在[c,1][*][0,1]上满足洛尔定理的全部条件,由洛尔定理,存在∈E(0,1),使 ξf’(ξ)+f(ξ)=0.
解析
因待证结论中含有导数,所以应先构造辅助函数,再用洛尔定理来证明.
要证的结论为:ξf’(ξ)+f(ξ)=0→xf’(x)+f(x)=0→f’(x)+
f(x)=0.
由一阶齐次线性方程的通解公式得:f(x)=
,即xf(x)=c.
取F(x)=xf(x)作为辅助函数,于是只需验证F(x)满足洛尔定理的全部条件.
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考研数学三
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