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  3. 设f(x)在[0，1]上可导，且∫01xf(x)dx=f(1)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上可导，且∫01xf(x)dx=f(1)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0．

admin2019-03-12  105
问题 设f(x)在[0，1]上可导，且∫01xf(x)dx=f(1)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0．
选项
答案令F(x)=xf(x)，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导．由积分中值定理，存在c∈[0，1]，使得 f(1)=cf(c)．于是，有F(c)=cf(c)=F(1)=f(1)． 所以，F(z)在[c，1][*][0，1]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在∈E(0，1)，使 ξf’(ξ)+f(ξ)=0．
解析 因待证结论中含有导数，所以应先构造辅助函数，再用洛尔定理来证明．
    要证的结论为：ξf’(ξ)+f(ξ)=0→xf’(x)+f(x)=0→f’(x)+f(x)=0．
    由一阶齐次线性方程的通解公式得：f(x)=，即xf(x)=c．
    取F(x)=xf(x)作为辅助函数，于是只需验证F(x)满足洛尔定理的全部条件．
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考研数学三

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