设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0.设y1(x),y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性微分方程y”+p(x)y’+q(x)y一f(xT) ①的3个解,且 则式①的通解为________.

admin2021-08-05  40

问题 设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0.设y1(x),y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性微分方程y”+p(x)y’+q(x)y一f(xT)    ①的3个解,且

则式①的通解为________.

选项

答案y=C1(y1—y2)+C2(y2一y3)+y1,其中C1,C2为任意常数

解析 由非齐次线性微分方程的两个解,可构造出对应的齐次方程的解,再证明这样所得到的解线性无关即可.
    y1一y2与y2一y3均是式①对应的齐次线性方程
    y”+p(x)y’+q(x)y=0       ②
的两个解.今证它们线性无关.事实上,若它们线性相关,则存在不全为零的常数k1与k2使
    k1(y1—y2)+k2(y2一y3)=0.    ③
设k1≠0,又由题设知y2一y3≠0,于是式③可改写为=常数,矛盾.
若k1=0,由y2一y3≠0,故由式③推知k2=0矛盾.这些矛盾证得y1一y2与y2一y3线性无关.于是
    Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)
为式②的通解,其中C1,C2为任意常数,从而知
    y=C1(y1—y2)+C2(y2一y3)+y1
为式①的通解.
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