若f’’(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内( )

admin2019-08-12 73

问题若f^’’(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x²+y²=2，则函数f(x)在区间(1，2)内( )

选项 A、有极值点，无零点。
B、无极值点，有零点。
C、有极值点，有零点。
D、无极值点，无零点。

答案B

解析根据题意，f(x)是一个凸函数，因此f^’’(x)＜0，在点(1，1)处的曲率ρ=

，而f^’(1)=一1，由此可得，f^’’(1)=一2。在闭区间[1，2]上，f^’(x)≤f^’(1)=一1＜0，即f(x)单调减少，没有极值点。
根据拉格朗日中值定理，对于f(2)一f(1)=f^’(ζ)＜一1，ζ∈(1，2)，则f(2)＜0，而f(1)=1＞0。
由零点定理知，在[1，2]上，f(x)有零点。故应选B。

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