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若f’’(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
若f’’(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
admin
2019-08-12
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问题
若f
’’
(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x
2
+y
2
=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
选项
A、有极值点,无零点。
B、无极值点,有零点。
C、有极值点,有零点。
D、无极值点,无零点。
答案
B
解析
根据题意,f(x)是一个凸函数,因此f
’’
(x)<0,在点(1,1)处的曲率ρ=
,而f
’
(1)=一1,由此可得,f
’’
(1)=一2。在闭区间[1,2]上,f
’
(x)≤f
’
(1)=一1<0,即f(x)单调减少,没有极值点。
根据拉格朗日中值定理,对于f(2)一f(1)=f
’
(ζ)<一1,ζ∈(1,2),则f(2)<0,而f(1)=1>0。
由零点定理知,在[1,2]上,f(x)有零点。故应选B。
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考研数学二
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