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  3. 设f(x)为(－∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t－x)f(x－t)dt，则F(x)是

设f(x)为(－∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t－x)f(x－t)dt，则F(x)是

admin2019-08-12  50
问题 设f(x)为(－∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t－x)f(x－t)dt，则F(x)是
选项 A、单调增加的奇函数．
B、单调增加的偶函数．
C、单调减小的奇函数．
D、单调减小的偶函数．
答案C
解析 对被积函数作变量替换u=x－t，就有
F(x)=∫0x(2t－x)f(x－t)dt=∫0x(x－2u)f(u)du=x∫0xf(u)du－2∫0xuf(u)du．
    由于f(x)为奇函数，故∫0xf(u)du为偶函数，于是x∫0xf(u)du为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而
∫0xuf(u)du为奇函数，所以F(x)为奇函数．又
    F’(x)=∫0xf(u)du+xf(x)－2xf(x)=∫0xf(u)du－xf(x)，
由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫0xf(u)du=xf(ξ)．从而F’(x)=x[f(ξ)－f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F’(x)＜0，从而应选C．
    其实，由F’(x)=∫0xf(u)du－xf(x)=∫0x[f(u)－f(x)]du及f(x)单调增加也可得F’(x)＜0．
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考研数学二

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