设矩阵A=[aij]3×3满足A=AT，其中A为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．

admin2019-04-08 41

问题设矩阵A=[a_ij]_3×3满足A^*=A^T，其中A^*为A的伴随矩阵，A^T为A的转置矩阵，若a₁₁，a₁₂，a₁₃为3个相等的正数，则a₁₁为( )．

选项 A、

B、3
C、1／3
D、

答案A

解析由A^*=A^T，即

，其中A_ij为｜A｜中元素a_ij的代数余子式，则得a_ij=A_ij(i，j=1，2，3)，将｜A｜按第1行展开得
｜A｜=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=a₁₁²+a₁₂²+a₁₃²=3a₁₁²＞0．
又由A^*=A^T得到｜A^*｜=｜A^-3｜=｜A^T｜=｜A｜，即｜A｜(｜A｜一1)=0，而｜A｜＞0，故
｜A｜一1=0，即｜A｜=1，则3a₁₁²=1，因a₁₁＞0，故a₁₁=

．仅A入选．[img][/img]

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