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  3. 设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )

设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )

admin2019-03-11  32
问题 设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则(    )
选项 A、λE-A=λE-B
B、A与B有相同的特征值和特征向量．
C、A和B都相似于一个对角矩阵．
D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似．
答案D
解析 因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确．
    相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确．
对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确．
    综上可知选项D正确．事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使
    P-1AP=B
    于是    P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE-B．
    可见对任意常数t，矩阵tE-A与tE-B相似．所以应选D．
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考研数学三

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