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  3. 设二阶常系数线性微分方程 y″+ay′+βy=γe2x 的一个特解为y=e2x+(1+x)ex．求此方程的通解．

设二阶常系数线性微分方程 y″+ay′+βy=γe2x 的一个特解为y=e2x+(1+x)ex．求此方程的通解．

admin2016-11-03  48
问题 设二阶常系数线性微分方程
y″+ay′+βy=γe2x
的一个特解为y=e2x+(1+x)ex．求此方程的通解．
选项
答案由所给方程的非齐次项为γe2x及特解中含有e2x项知，y*=e2x是原方程的一个特解．于是y=(1+x)ex应是对应齐次方程的特解，因而1为特征方程的二重特征根．于是2为特征方程的一特征根，特征方程为 r2一2r+1=0， 则齐次方程应是 y″一2y′+y=0， 故 α=－2， β=1． 又y*为非齐次方程的特解，代入其中得 4e2x一2.2e2x+e2x=γe2x， 故 γ=1． 因y1=ex，y2=xex都是y″一2y′+y=0的解，且 [*] 故其线性无关，所以Y=(c1+c2x)ex为y″一2y′+y=0的通解．又y*=e2x是非齐次方程的一个特解，故y=(c1+c2x)ex一e2x是非齐次方程的通解．
解析 先根据题设确定微分方程，再求通解．
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考研数学一

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