设二阶常系数线性微分方程 y″+ay′+βy=γe2x 的一个特解为y=e2x+(1+x)ex．求此方程的通解．

admin2016-11-03 56

问题设二阶常系数线性微分方程
y″+ay′+βy=γe^2x
的一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x．求此方程的通解．

选项

答案由所给方程的非齐次项为γe^2x及特解中含有e^2x项知，y^*=e^2x是原方程的一个特解．于是y=(1+x)e^x应是对应齐次方程的特解，因而1为特征方程的二重特征根．于是2为特征方程的一特征根，特征方程为 r²一2r+1=0，则齐次方程应是 y″一2y′+y=0，故 α=－2， β=1．又y^*为非齐次方程的特解，代入其中得 4e^2x一2.2e^2x+e^2x=γe^2x，故 γ=1．因y₁=e^x，y₂=xe^x都是y″一2y′+y=0的解，且 [*] 故其线性无关，所以Y=(c₁+c₂x)e^x为y″一2y′+y=0的通解．又y^*=e^2x是非齐次方程的一个特解，故y=(c₁+c₂x)e^x一e^2x是非齐次方程的通解．

解析先根据题设确定微分方程，再求通解．

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考研数学一

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